--- title: 'Güven Aralığı Yorumu' source: 'https://academia.sh/tr/kurslar/kesifsel-analiz/guven-araligi-yorumu' course: 'İstatistiksel Analiz ve Keşifsel Veri Analizi' language: tr updated: '2026-08-17T18:08:47+00:00' license: 'CC BY-SA 4.0' --- # Güven Aralığı Yorumu Doğu bölgesinin 24,674 m³'lük ortalaması geri koyarak örneklemeyle 23,894–25,431 m³ aralığına oturuyor ve genişlik 1,537 m³ çıkıyor, ama 557 okumanın yalnız 37 tanesi bu aralığın içinde: aralık gözlemlerin değil özetin aralığıdır. Gözlem sayısı 35'ten 139'a, 139'dan 557'ye çıkınca genişlik 6,601'den 3,009'a, oradan 1,459 m³'e iniyor. Kırk gözlemlik 120 örneklemin 113'ünde aralık kütle ortalamasını içeriyor. Kuzeyin iki dönemi 0,148 m³ boyunca kesişen iki aralık veriyor, farkın kendi aralığı ise 0,281–2,612 m³ ile sıfırı dışarıda bırakıyor. Önceki iki derste iki kez aralık üretildi ve iki kez genişlik yazıldı, ama aralığın ne söylediği tanımlanmadı. Güven aralığı bu müfredatta yeni değildir: deneyim ölçme kursunda bir **araç** olarak kullanılmış, örneklem büyüklüğü ve çoklu karşılaştırma düzeltmesi orada hesaplanmıştı. O hesaplar burada tekrarlanmaz. Bu derste aralığın kendisi konudur. Aralık burada formülle değil **geri koyarak örneklemeyle** üretilir. Bu seçim bir kolaylık değildir: formül yolu dağılım hakkında bir varsayım ister ve o varsayım okuma verisinde tartışmalıdır, çekiliş yolu ise yalnız kümenin kendisini ister. Ölçü iki başlıkta toplanır: genişlik neye bağlıdır ve aralık neyi söylemez. İkinci başlığın en pahalı maddesi sona bırakılır — iki aralığın kesişmesi, iki ortalamanın farklı olmadığı anlamına gelmez ve bunun ispatı sayıyla verilir. - **UI12. Güven aralığı bir ölçüm değil, bir yordamın çıktısıdır.** Kümeden aynı büyüklükte ve geri koyarak 1.000 kez çekilir, özet her çekilişte yeniden hesaplanır, çıkan değerlerin orta yüzde 95'i aralık olarak yazılır. - **UI13. Aralık gözlemlerin değil özetin aralığıdır.** Tek tek okumaların nerede durduğu hakkında hiçbir şey söylemez ve okumaların büyük çoğunluğu aralığın dışındadır. - **UI14. Genişlik gözlem sayısına bağlıdır** ve gözlem sayısı dörde katlandığında genişlik yaklaşık yarıya iner. Hata payını yarılamanın bedeli dört katı gözlemdir. - **UI15. Yüzde 95 tek bir aralığa değil yordama aittir.** Aynı yordamla kurulan aralıkların yaklaşık yüzde 95'i kütle değerini içerir; eldeki tek aralık için söylenebilecek şey budur. - **UI16.** Aralık, kümenin kütleyi temsil ettiğini varsayar. Seçim yanlılığını ne ölçer ne düzeltir; yanlı bir kümede dar bir aralık, yanlış sayının çevresinde dar bir aralıktır. - **UI17.** İki aralığın kesişmesi "fark yok" demek değildir. Fark ayrı bir sayıdır. - **UI18.** Kararın okunduğu yer farkın kendi aralığıdır: sıfırın içeride olup olmadığına bakılır. ## Aralık Nasıl Üretilir ```python # kume.py — MODELDIR: K03-K04'un kurgu olcum agi ayni tohumla yeniden uretilir. # 3.199 satirlik uzun bicimli okuma tablosu, 1.329 abone, uc donem, bes bolge. import math TOHUM, HAM, M32 = 20260218, 1400, 0xFFFFFFFF DONEM = ["2026-01", "2026-02", "2026-03"] BOLGE = [("kuzey", 0.28, 21), ("guney", 0.22, 17), ("dogu", 0.18, 26), ("bati", 0.14, 14), ("merkez", 0.18, 23)] def uretec(t): x = ((t ^ (t >> 16)) * 2246822507) & M32 x = ((x ^ (x >> 13)) * 3266489909) & M32 s = [(x ^ (x >> 16)) & M32] def sonraki(): s[0] = (s[0] * 1664525 + 1013904223) & M32 return s[0] / 4294967296 return sonraki def ayrik(u, w): t = 0.0 for i, x in enumerate(w): t += x if u < t: return i return len(w) - 1 _k, _e = [], [] for i in range(HAM): r = uretec(TOHUM + i) b = BOLGE[ayrik(r(), [x[1] for x in BOLGE])] ayrik(r(), [0.06, 0.24, 0.30, 0.24, 0.11, 0.05]) ayrik(r(), [0.08, 0.14, 0.27, 0.34, 0.17]) (_e if r() < 0.046 else _k).append( {"abone_no": 10001 + i, "bolge": b[0], "taban": b[2]}) GECERLI = {a["abone_no"] for a in _k} OKUMA = [] for a in _k + _e: r = uretec(TOHUM + 7000 + a["abone_no"]) for d in range(ayrik(r(), [0.05, 0.12, 0.21, 0.62])): t = 0.0 if r() < 0.038 else math.floor( a["taban"] * math.exp((r() + r() + r() - 1.5) * 0.62) * (1 - d * 0.05) * 100 + 0.5) / 100 if a["abone_no"] not in GECERLI: r() continue OKUMA.append({"abone_no": a["abone_no"], "bolge": a["bolge"], "donem": DONEM[d], "tuketim_m3": t}) r() def ortalama(v): return sum(v) / len(v) CEKILIS = 1000 def yuzdelik(s, p): i = p * (len(s) - 1) a = int(i) z = min(a + 1, len(s) - 1) return s[a] + (s[z] - s[a]) * (i - a) def aralik(v, tohum, cekilis=CEKILIS): sec = uretec(tohum) n = len(v) d = sorted(ortalama([v[int(sec() * n)] for _ in range(n)]) for _ in range(cekilis)) return yuzdelik(d, 0.025), yuzdelik(d, 0.975) dogu = [o["tuketim_m3"] for o in OKUMA if o["bolge"] == "dogu"] a, z = aralik(dogu, TOHUM + 301) print(f"dogu ortalamasi {ortalama(dogu):.3f} m3, n={len(dogu)}, {CEKILIS} cekilis") print(f"yuzde 95 guven araligi {a:.3f} - {z:.3f} m3, genislik {z - a:.3f} m3") ic = sum(1 for x in dogu if a <= x <= z) print(f"557 okumanin {ic} tanesi ({100 * ic / len(dogu):.2f} yuzde) bu araligin icinde") ``` ``` dogu ortalamasi 24.674 m3, n=557, 1000 cekilis yuzde 95 guven araligi 23.894 - 25.431 m3, genislik 1.537 m3 557 okumanin 37 tanesi (6.64 yuzde) bu araligin icinde ``` Yordam tek cümledir: elde kütle olmadığı için küme kütle yerine konur, içinden aynı büyüklükte ve geri koyarak 1.000 kez çekilir, her çekilişte ortalama yeniden hesaplanır ve çıkan 1.000 ortalamanın orta yüzde 95'i aralık olarak yazılır. Doğu bölgesi için sonuç 23,894–25,431 m³'tür ve hata payı, yani aralığın yarı genişliği, 0,769 m³'tür. Son satır aralığın en sık karıştırılan yanını sayıya çeviriyor. Aralık 557 okumanın yalnız 37 tanesini içeriyor, yani yüzde 6,64'ünü. Aralık okumaların nerede olduğunu değil, **ortalamanın** nerede olabileceğini bildirir. "Abonelerin yüzde 95'i 23,9 ile 25,4 m³ arasında tüketiyor" cümlesi bu çıktıdan çıkarılamaz ve kümede yanlıştır. Ayrım rapor dilinde şöyle korunur: aralık her zaman bir **özetin** adıyla yazılır — ortalamanın aralığı, ortancanın çentiği, oranın aralığı. Adı yazılmadığında okuyucunun onu gözlemlerin aralığı sanması beklenen bir yanlış anlamadır. Yordamın tek varsayımı da açıkça durur: kümenin kütleyi temsil ettiği kabul edilir. Geri koyarak örnekleme, elde olmayan kütle yerine eldeki kümeyi koyar ve bu değişimin bedeli küçük kümelerde büyür. Kümede olmayan bir değer hiçbir çekilişte ortaya çıkamaz, bu yüzden aralık kümenin görebildiği kadarını görür. ## Genişlik Neye Bağlı ```python # genislik.py — ayni bolgenin okumalari once karistirilir, sonra ic ice buyuyen # uc altkume alinir: 35, 139, 557. Her adimda gozlem sayisi yaklasik dorde katlanir. sec = uretec(TOHUM + 304) kar = dogu[:] for i in range(len(kar) - 1, 0, -1): j = int(sec() * (i + 1)) kar[i], kar[j] = kar[j], kar[i] onceki = None for n in (35, 139, 557): alt = kar[:n] a2, z2 = aralik(alt, TOHUM + 305) g = z2 - a2 ek = "" if onceki is None else f", bir onceki genisligin {g / onceki:.3f} kati" print(f"n={n:3d} ortalama {ortalama(alt):6.3f} aralik {a2:6.3f} - {z2:6.3f} " f"genislik {g:.3f}{ek}") onceki = g ``` ``` n= 35 ortalama 24.242 aralik 20.825 - 27.426 genislik 6.601 n=139 ortalama 24.115 aralik 22.507 - 25.515 genislik 3.009, bir onceki genisligin 0.456 kati n=557 ortalama 24.674 aralik 23.985 - 25.445 genislik 1.459, bir onceki genisligin 0.485 kati ``` Üç altküme iç içedir: 35 okuma 139'un içindedir, 139 da 557'nin. Gözlem sayısı her adımda yaklaşık dörde katlanıyor ve genişlik her adımda yaklaşık yarıya iniyor — 6,601'den 3,009'a, oradan 1,459 m³'e. Oranlar 0,456 ve 0,485 çıkıyor, yani yarıya inmenin çevresinde. Bunun planlamadaki karşılığı doğrudandır: hata payını yarılamak isteyen bir ölçüm dört katı gözlem toplamak zorundadır. Otuz beş okumalık bir kırılımda ortalamanın 6,6 m³ genişliğinde bir aralığı vardır ve o kırılımda 25 m³'lük tarife basamağı hakkında hiçbir şey söylenemez; aynı soruya cevap verebilmek için gereken gözlem sayısı on altı katıdır. Bir kırılımı daha ince kesmenin bedeli de burada görünür: her bölme gözlem sayısını düşürür ve düşen gözlem sayısı genişliği kökle ters orantılı biçimde büyütür. Ortalamaların da oynadığına dikkat edilmelidir: 24,242, 24,115 ve 24,674. Üç sayı da doğrudur ve üçü de aynı bölgeden gelir. Aralarındaki fark, tam olarak aralığın ölçtüğü şeydir. Genişliğin ikinci belirleyicisi kümenin kendi **değişkenliğidir**. Aynı gözlem sayısında, değerleri birbirine yakın duran bir kırılım dar, geniş yayılmış bir kırılım ise geniş aralık verir. Analistin elinde bu iki kaldıraçtan yalnız biri vardır: gözlem sayısı ölçüm planının konusudur, değişkenlik ise ölçülen şeyin kendi özelliğidir. Bu yüzden dar aralık bir çözümleme başarısı değil, çoğunlukla bir toplama kararının sonucudur. ## Yüzde 95 Neyin Yüzde 95'i ```python # kapsama.py — 557 okuma kutle kabul edilir, icinden 40 gozlemlik ornekler # cekilir ve her ornek icin kisa bir aralik kurulur. Sayilan sey, araliklarin # kacinin kutle ortalamasini icerdigidir. KUTLE = ortalama(dogu) sec = uretec(TOHUM + 308) DENEME, ORNEK, KISA = 120, 40, 200 tutan = 0 for _ in range(DENEME): orn = [dogu[int(sec() * len(dogu))] for _ in range(ORNEK)] d = sorted(ortalama([orn[int(sec() * ORNEK)] for _ in range(ORNEK)]) for _ in range(KISA)) if yuzdelik(d, 0.025) <= KUTLE <= yuzdelik(d, 0.975): tutan += 1 print(f"kutle ortalamasi {KUTLE:.3f} m3 kabul edildi; {ORNEK} gozlemlik " f"{DENEME} ornekleme {KISA} cekilisle aralik kuruldu") print(f"araliklarin {tutan} tanesi ({100 * tutan / DENEME:.1f} yuzde) kutle " f"ortalamasini iceriyor") ``` ``` kutle ortalamasi 24.674 m3 kabul edildi; 40 gozlemlik 120 ornekleme 200 cekilisle aralik kuruldu araliklarin 113 tanesi (94.2 yuzde) kutle ortalamasini iceriyor ``` Yüzde 95 sayısı eldeki tek aralığa ait değildir; **yordama** aittir. Bunu görmek için doğu bölgesinin 557 okuması kütle sayıldı, içinden 40 gözlemlik 120 ayrı örneklem çekildi ve her biri için aralık kuruldu. Kurulan 120 aralığın 113 tanesi kütle ortalamasını içeriyor, yani yüzde 94,2. Cümlenin doğru biçimi budur: bu yordamla kurulan aralıkların yaklaşık yüzde 95'i kütle değerini içerir. Eldeki tek aralık için "kütle ortalaması yüzde 95 olasılıkla içeridedir" denemez, çünkü kütle ortalaması bir sayıdır ve ya içeridedir ya değildir; oynayan şey aralıktır, kütle değeri değil. Çıkan sayının 95 yerine 94,2 olması da bir bilgidir ve düzeltilmesi gereken bir sapma değildir. Kırk gözlemlik örneklemlerde geri koyarak örnekleme aralığı bir miktar dar kurar; 120 deneme ile ölçülen bu oranın kendi payı da yaklaşık iki puandır. Koşum sayısı büyütülse oran 95'e yaklaşır, ama yaklaşmanın hızı da bu dersin ölçtüğü kuralın aynısına uyar. Aralığın söylemedikleri bu koşumun dışında da kalır. Küme kütleyi temsil etmiyorsa — ağda yalnız okunabilmiş sayaçlar varsa — aralık bu eksikliği ne görür ne düzeltir; dar bir aralık yalnızca yanlış sayının çevresinde dar olur. Seçim yanlılığı bu konunun son dersinin işidir. ## İki Aralığın Kesişmesi ```python # kesisme.py — kuzeyin iki donemi: once iki ayri aralik, sonra farkin kendi # araligi. Fark her cekiliste iki gruptan ayri ayri cekilerek yeniden hesaplanir. k2 = [o["tuketim_m3"] for o in OKUMA if o["bolge"] == "kuzey" and o["donem"] == "2026-02"] k3 = [o["tuketim_m3"] for o in OKUMA if o["bolge"] == "kuzey" and o["donem"] == "2026-03"] a2, z2 = aralik(k2, TOHUM + 306) a3, z3 = aralik(k3, TOHUM + 306) print(f"kuzey 2026-02: n={len(k2)} ortalama {ortalama(k2):.3f} aralik {a2:.3f} - {z2:.3f}") print(f"kuzey 2026-03: n={len(k3)} ortalama {ortalama(k3):.3f} aralik {a3:.3f} - {z3:.3f}") print(f"iki aralik {min(z2, z3) - max(a2, a3):.3f} m3 boyunca kesisiyor") sec = uretec(TOHUM + 307) n2, n3 = len(k2), len(k3) f = sorted(ortalama([k2[int(sec() * n2)] for _ in range(n2)]) - ortalama([k3[int(sec() * n3)] for _ in range(n3)]) for _ in range(CEKILIS)) fa, fz = yuzdelik(f, 0.025), yuzdelik(f, 0.975) print(f"farkin kendi araligi: {ortalama(k2) - ortalama(k3):.3f} m3 " f"({fa:.3f} - {fz:.3f}), sifir iceride mi: {fa <= 0 <= fz}") ``` ``` kuzey 2026-02: n=319 ortalama 20.324 aralik 19.491 - 21.193 kuzey 2026-03: n=239 ortalama 18.879 aralik 18.068 - 19.639 iki aralik 0.148 m3 boyunca kesisiyor farkin kendi araligi: 1.446 m3 (0.281 - 2.612), sifir iceride mi: False ``` Kuzey bölgesinin iki dönemi yan yana kondu. İki aralık 0,148 m³ boyunca kesişiyor ve kesişmeye bakan bir okuyucu "iki dönem arasında fark yok" sonucunu çıkarır. Bu sonuç yanlıştır ve yanlışlığı bir yorum tercihi değil, hesapla gösterilebilecek bir şeydir. Farkın kendi aralığı hesaplandığında 1,446 m³'lük gözlenen fark 0,281–2,612 m³ aralığına oturuyor ve sıfır bu aralığın dışında kalıyor. Yani aynı veri, iki ayrı aralığa bakınca "belirsiz", farkın aralığına bakınca "sıfırdan uzak" diyor. İkisinden doğru olanı ikincisidir, çünkü sorulan soru farkın ne olduğudur ve fark ayrı bir sayıdır. Nedeni kısaca şudur: iki ayrı aralık iki ayrı belirsizliği **tam boyuyla** yan yana koyar, oysa farkın belirsizliği ikisinin toplamı kadar büyük değildir. Kesişmeme her zaman farkın sıfırdan uzak olduğunu gösterir, ama kesişme hiçbir şey göstermez. Karar verilecekse bakılacak sayı tektir: farkın aralığı ve sıfırın o aralıktaki yeri. Uygulamadaki kural bundan çıkar. Bir raporda iki grubun aralığı yan yana basılıyorsa, karşılaştırma yapılacak yer orası değildir; farkın aralığı ayrıca hesaplanıp ayrıca yazılır. İki aralıklı gösterim her grubu kendi başına tanıtmak için yararlıdır, karşılaştırma için değil. Bu ayrım yazılmadığında aynı çıktı iki farklı karar üretir ve hangisinin verildiği okuyucunun hangi satıra baktığına kalır. ## Özet - Güven aralığı formülle değil geri koyarak örneklemeyle üretildi: doğu bölgesinin 24,674 m³'lük ortalaması 1.000 çekilişte 23,894–25,431 m³ aralığına, yani 0,769 m³'lük hata payına oturdu. - Aralık gözlemlerin değil özetin aralığıdır; 557 okumanın yalnız 37 tanesi, yüzde 6,64'ü, bu aralığın içindedir. - Gözlem sayısı 35'ten 139'a, 139'dan 557'ye çıkınca genişlik 6,601'den 3,009'a, oradan 1,459 m³'e indi; hata payını yarılamanın bedeli dört katı gözlemdir. - Yüzde 95 tek bir aralığa değil yordama aittir: 40 gözlemlik 120 örneklemin 113'ünde, yani yüzde 94,2'sinde aralık kütle ortalamasını içerdi. - Kuzeyin iki dönemi 0,148 m³ boyunca kesişen iki aralık verdi, ama farkın kendi aralığı 0,281–2,612 m³ çıktı ve sıfırı dışarıda bıraktı; kesişme fark yok demek değildir. ## Sonraki Adım Farkın aralığı sıfırı dışarıda bıraktı ve bu, bir karara en yakın duran çıktıdır. Yine de tek başına bir sınama değildir: sorulmayan soru, "hiçbir fark yokken bu büyüklükte bir farkın ne sıklıkla ortaya çıkacağı"dır. Sonraki ders bu soruyu **yeniden karıştırma** ile cevaplar, sıfır hipotezini, p değerini ve anlamlılık düzeyini karıştırma üzerinden tanımlar ve aynı iki grubu hem eşleştirilmiş hem bağımsız sayarak sınar. p değeri iki kez basılır, etki büyüklüğü yanında durur ve p değerinin ne olmadığı sayıyla gösterilir.